Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} 1 & h & 4 - 5 & 10 & - 24 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & h & 4 \\ - 5 & 10 & - 24 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{matrix} 1 & h & 4 - 5 + 5 \cdot 1 & 10 + 5 h & - 24 + 5 \cdot 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & h & 4 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & 10 + 5 h & - 24 + 5 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & h & 4 0 & 10 + 5 h & - 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & h & 4 \\ 0 & 10 + 5 h & - 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & h & 4 0 & 10 + 5 h & - 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & h & 4 \\ 0 & 10 + 5 h & - 4 \end{array}]$

Étape 1.2

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{1}{10 + 5 h}

$\frac{1}{10 + 5 h}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

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Étape 1.2.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{1}{10 + 5 h}

$\frac{1}{10 + 5 h}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

[\begin{matrix} 1 & h & 4 \frac{0}{10 + 5 h} & \frac{10 + 5 h}{10 + 5 h} & \frac{- 4}{10 + 5 h} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & h & 4 \\ \frac{0}{10 + 5 h} & \frac{10 + 5 h}{10 + 5 h} & \frac{- 4}{10 + 5 h} \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & h & 4 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & h & 4 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & h & 4 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & h & 4 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{array}]$

Étape 1.3

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - h R_{2}

$R_{1} = R_{1} - h R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

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Étape 1.3.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - h R_{2}

$R_{1} = R_{1} - h R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - h \cdot 0 & h - h \cdot 1 & 4 - h (- \frac{4}{5 (2 + h)}) 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - h \cdot 0 & h - h \cdot 1 & 4 - h (- \frac{4}{5 (2 + h)}) \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 4 + \frac{4 h}{5 (2 + h)} 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 + \frac{4 h}{5 (2 + h)} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 4 + \frac{4 h}{5 (2 + h)} 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 + \frac{4 h}{5 (2 + h)} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 4 + \frac{4 h}{5 (2 + h)} 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 + \frac{4 h}{5 (2 + h)} \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5 (2 + h)} \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

1

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

a_{11}

$a_{11}$ and

a_{22}

$a_{22}$

Pivot Columns:

1

$1$ and

2

$2$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

2

$2$